¿Sabías que la manera en que se construyen los portafolios de inversión modernos se originó en un solo artículo académico de los años 50? 

Ese artículo, publicado por Harry Markowitz en The Journal of Finance en 1952, cambió para siempre la forma en que los inversionistas entienden el equilibrio entre riesgo y rentabilidad.

El modelo de Markowitz, también conocido como Teoría Moderna de Portafolios o Teoría de Media-Varianza, es el pilar que dio origen a los fondos indexados, la gestión cuantitativa y las estrategias de diversificación que hoy dominan los mercados financieros.

En esta guía aprenderás qué es el modelo de Markowitz, cómo funciona y cómo aplicar sus principios para construir un portafolio eficiente, capaz de optimizar los retornos sin asumir riesgos innecesarios.

Verás ejemplos reales, fórmulas, interpretaciones en Excel y las bases estadísticas que explican por qué diversificar no es una moda, sino una ciencia.

¿Qué es el modelo de Markowitz?

El Modelo de Markowitz, también conocido como la Teoría de Cartera de Markowitz o la Teoría de Cartera de Media-Varianza de Markowitz, es un marco fundamental para la selección de portafolios o carteras de inversión.

El modelo fue introducido por el economista Harry Markowitz en su artículo seminal titulado «Portfolio Selection». Este artículo fue publicado en la revista The Journal of Finance en marzo de 1952.

El trabajo de Markowitz es considerado el punto de partida de la teoría moderna de carteras. Su artículo “Portfolio Selection”, se basa en la idea de que un inversor racional siempre buscará maximizar sus retornos y asumir el menor riesgo posible, esto se puede lograr a través de la diversificación de carteras y principalmente al elegir acciones que tengan correlaciones bajas o negativas, pues así, los valores que tengan rendimientos negativos se compensan con otros que tuvieron rendimientos positivos.

Por consiguiente, un portafolio eficiente, es aquel que proporciona la mayor rentabilidad posible a un nivel de riesgo dado y con un conjunto de éstos se podría obtener la frontera eficiente, donde están las mejores rentabilidades con diferentes niveles de riesgos y así determinar la cartera optima para el inversionista.

Construir un portafolio o cartera de inversión eficiente con el modelo de Markowitz

El aporte revolucionario de Markowitz radica en dos ideas clave:

1. La diversificación tiene una base matemática.
   Por primera vez, se midió el riesgo mediante la covarianza entre los activos de una cartera, demostrando que el riesgo total no es solo la suma de los riesgos individuales.
2. El proceso de selección de portafolios es racional y estructurado.
   Se divide en dos fases:
   • Formación de expectativas sobre los rendimientos futuros.
     
   • Optimización del portafolio, eligiendo la combinación de activos que maximiza la rentabilidad esperada para un nivel de riesgo dado.
     

Un portafolio eficiente, según Markowitz, es aquel que no puede mejorar su rentabilidad sin aumentar su riesgo. El conjunto de todos esos portafolios forma la llamada frontera eficiente.

Comprender la base: riesgo y rendimiento

Todo portafolio parte de dos variables clave: la rentabilidad esperada y el riesgo.

El primero se calcula a partir del promedio histórico de los rendimientos, mientras que el segundo se mide con la volatilidad, es decir, la dispersión de los retornos en torno a la media.

En nuestro análisis de ejemplo, tomé cotizaciones históricas de acciones latinoamericanas y los índices generales de Colombia (IGBC), Perú (IGBVL) y Chile (IGPA) como referencia de mercado.

Principales métricas del modelo

• Rentabilidad esperada (E(Ri)): media de los rendimientos históricos.
• Volatilidad (σ(Ri)): mide la dispersión de los rendimientos.
• Varianza (Var(Ri)): riesgo total del activo.
• Coeficiente de variación (CV): riesgo relativo por unidad de rentabilidad.
  

Con estos cálculos, se observó que ciertas acciones ofrecían mejores rendimientos promedio, mientras que otras, aunque más volátiles, podían aportar diversificación valiosa al portafolio.

En el análisis de ejemplo desarrollado en Excel con datos del S&P MILA 40 (enero–septiembre 2011), se calcularon estas métricas usando las funciones PROMEDIO, DESVEST y operaciones básicas para obtener varianza y CV.

El estudio mostró que algunas acciones, como ENTEL y CORFICOLCF, ofrecieron los mejores rendimientos promedio, mientras que otras, más volátiles, aportaron valor a través de diversificación.

Riesgo sistemático y no sistemático: la base de la diversificación

Por otro lado, es necesario introducir dos conceptos claves en nuestro análisis: riesgo sistemático y riesgo no sistemático. El Riesgo Sistemático es aquel que obedece a variables externas, al movimiento del mercado en general; es no diversificable, es decir, no se puede eliminar a través de la diversificación. Mientras que el Riesgo No Sistemático, es diversificable y es propio del activo en particular (propio de la empresa o industria), puesto que obedece a variables internas y se puede eliminar a través de la diversificación.

Markowitz distingue dos tipos de riesgo:

• Riesgo sistemático → asociado al mercado en general, no se puede eliminar.
  
• Riesgo no sistemático → propio de cada activo o sector, sí puede diversificarse.
  

La clave de una cartera eficiente es minimizar el riesgo no sistemático, combinando activos cuyos precios no se muevan de la misma forma.

Modelo de Markowitz: Ejemplo práctico en Excel – Riesgo Individual (Parte I)

Para elaborar nuestro modelo en Excel, tomé las cotizaciones históricas de los últimos nueves meses (Enero – Septiembre 2011) de las acciones que hacen parte de la canasta del índice S&P Mila 40 al momento de escribir este artículo y realizar los calculos en 2011. Estas cotizaciones fueron tomadas de los sitios web de las diferentes bolsas de valores que conforman el Mercado Integrado Latinoamericano (Mila): Bolsa Valores de Colombia, Bolsa Valores de Lima y Bolsa Comercio de Santiago.

Para empezar, construí una matriz de cotizaciones de precios de cierre de las 40 acciones del índice y como éste entró a operar el 29 de agosto de 2011, decidí tomar como referencia del mercado los diferentes índices generales de las respectivas bolsas, IGBC (Índice General de la Bolsa de Valores de Colombia), IGBVL (Índice General de la Bolsa de Valores de Lima) y el IGPA (Índice General de Precios de Acciones).

Luego, realicé una matriz de rendimientos, donde calculé la rentabilidad diaria de forma logarítmica o continua, la cual es ampliamente utilizada para medir la rentabilidad de los activos en los mercados financieros.

Donde:

Ln = Logaritmo natural.

At = Precio del activo en el momento t.

At-1 = Precio del activo en el momento t-1.

Después, creé una tabla con indicadores estadísticos, los cuales permiten analizar el riesgo individual del activo:

• Valor esperado promedio periódico (E(Ri )), es el rendimiento promedio calculado a través de la media aritmética, la medida de tendencia central más utilizada.  En Excel se realiza con la función “PROMEDIO (R1:Rn )”.

Donde:

Ri = Rentabilidad de i.

n = Número de observaciones.

• Volatilidad promedio periódica (?(Ri) ), se  halla por medio de la desviación típica y es la raíz cuadrada de la varianza. Nos indica el nivel de dispersión alrededor de la media, por tanto, a mayor desviación mayor riesgo. Para calcularla en Excel se emplea la función “DESVEST (R1:Rn )”.

Donde:

Ri= Rentabilidad de i.

E (Ri) = Valor esperado de i (Media aritmética).

n = Número de observaciones.

• Varianza (Var (Ri)), es el riesgo total del activo, se calcula como la volatilidad promedio periódica al cuadrado.

• Coeficiente de Variación (CV ) o Riesgo Marginal (RM), es el riesgo adicional que debe asumir un inversionista ante variaciones en una unidad porcentual de la rentabilidad. El CV es el cociente entre la volatilidad promedio periódica y el valor esperado promedio periódico. Su cálculo es muy utilizado para comparar inversiones. En Excel esta operación se realiza con la función “ABS (?(Ri)/E(Ri )), ”, la cual devuelve el valor absoluto de un número.

Después de analizar la tabla de indicadores se puede decir:

1. Los valores con mejor rentabilidad promedio diaria son:

–   Empresa Nacional de Telecomunicaciones S.A. (ENTEL), con 0,091%

–   Corporación Financiera Colombiana S.A. (CORFICOLCF), con 0,002%

–   Almacenes Éxito S.A. (EXITO), con 0,001%

El resto de acciones que conforman el índice presentaron desvalorizaciones promedio diarias. Las más desvalorizadas son:

–   Southern Copper Corp. (SCCO), con -0,358%

–   Minsur S.A.(MINSURI1), con -0,264%

–   Cía. de Aceros del Pacifico (CAP), con -0,246%

Los índices generales que para nuestro modelo nos sirven de benchmark del mercado, también presentaron desvalorizaciones promedio diarias, siendo el más desvalorizado el Índice General de la Bolsa de Valores de Lima (IGBVL) con -0,131% y el de menor desvalorización es el Índice General de la Bolsa de Valores de Colombia (IGBC) con -0,088%.

2. Los valores con mayor volatilidad promedio diaria son:

–   Minsur S.A.(MINSURI1), con 3,418%

–   Volcán Cía. Minera S.A.A – B (VOLCABC1), con 3,121%

–   Cía. De Minas Buenaventura S.A. (BUENAVC1), con 2,880%

Las acciones menos volátiles son:

–   Banco de Bogotá S.A. (BOGOTA), con 0,985%

–   Corporación Financiera Colombiana S.A. (CORFICOLCF), con 0,995%

–   Interconexión Eléctrica S.A. (ISA), con 1,302%

El índice con mayor volatilidad es el IGBVL con 2,064% y el menos volátil es el IGPA con 1,111%.

3. En cuanto a la varianza, los valores con mayor riesgo total son:

–   Minsur S.A.(MINSURI1), con 0,117%

–   Volcán Cía. Minera S.A.A – B (VOLCABC1), con 0,097%

–   Cía. De Minas Buenaventura S.A. (BUENAVC1), con 0,083%

Mientras que las acciones con menor varianza son:

–   Banco de Bogotá S.A. (BOGOTA), con 0,010%

–   Corporación Financiera Colombiana S.A. (CORFICOLCF), con 0,010%

–   Interconexión Eléctrica S.A. (ISA), con 0,017%

–   Empresa Nacional de Electricidad S.A. (ENDESA), con 0,017%

Por su parte, el mercado chileno mostró un menor riesgo marginal el IGPA con 0,012% y el Índice General de la Bolsa de Valores de Lima (IGBVL) mostró la varianza más alta, 0,043%.

4. Los valores con mayor coeficiente de variación o riesgo marginal son:

–   Almacenes Éxito S.A. (EXITO), con 1053,695

–   Corporación Financiera Colombiana S.A. (CORFICOLCF), con 661,294

–   AES Gener S.A. (GENER), con 268,192

Así mismo, los que presentaron menor riesgo marginal son:

–   Southern Copper Corp. (SCCO), con 7,440

–   Cía. de Aceros del Pacifico (CAP), con 8,018

–   Antarchile S.A. (ANTARCHILE), con 8,734

En cuanto a los índices, el mercado que presentó menor riesgo marginal fue el de Chile (IGPA) con 10,302, le sigue el IGBC con 12,736 y el  IGBVL con 15,760.

Covarianza y correlación: cómo interactúan los activos

Una cartera diversificada no depende solo del riesgo individual, sino de cómo se comportan los activos entre sí.

Covarianza

Indica cómo varían los rendimientos de dos activos simultáneamente.

• Positiva → se mueven en la misma dirección.
• Negativa → se mueven en direcciones opuestas (ideal para diversificación).
  

Correlación

Normaliza la covarianza entre -1 y +1:

• +1 → correlación perfecta positiva.
• -1 → correlación perfecta negativa.
• 0 → sin relación.
  

El objetivo de Markowitz es combinar activos con correlaciones bajas o negativas.
Por ejemplo, si una acción del sector energético cae mientras otra del sector consumo sube, juntas pueden reducir la volatilidad total del portafolio.

En el análisis práctico, se identificaron correlaciones negativas destacadas como:

• ÉXITO y AES Gener: -7,28%
• Banco de Bogotá y LAN Airlines: -4,69%
  

Estas relaciones son las que realmente aportan valor a la diversificación.

Modelo de Markowitz: Ejemplo práctico en Excel – Diversificación (Parte II)

Después de analizar el riesgo individual, ahora nos centraremos en la diversificación y estudiaremos el riesgo corporativo, lo cual también resulta muy útil al hacer trading en los mercados financieros:

• Covarianza. Es una medida estadística de la relación entre dos variables, en este caso, indica el grado en el cual los rendimientos de dos activos se mueven entre sí. Una covarianza positiva significa que los  rendimientos  de los activos de mueven en el mismo sentido y una covarianza negativa indica que se mueven inversamente. La fórmula para calcularla es:

Donde:

• Cov (Ra, Rb) = Covarianza de los rendimientos del activo a y b.
• Ra = Tasa de rentabilidad del activo a.
• E (Ra) = Rentabilidad esperada del activo a (Media).
• Rb = Tasa de rentabilidad del activo b.
• E (Rb) = Rentabilidad esperada del activo b (Media).

En nuestro modelo en Excel, construiremos una matriz de covarianzas y se calcula de la siguiente manera:

– Datos – Análisis de datos (Se toma la matriz de rendimientos) – Covarianza

Esta matriz también recibe el nombre de varianzas – covarianzas, ya que en su diagonal se encuentra la varianza del activo – el riesgo total – .

Para facilitar la comparación de los anteriores valores, se utiliza el coeficiente de correlación, el cual nos indica el comportamiento esperado entre las dos variables.

• Coeficiente de Correlación. El valor del coeficiente de correlación lineal oscila entre un rango de -1 (correlación perfecta negativa) y +1 (correlación perfecta positiva). Se tiene un mayor grado de correlación positiva cuando su valor esté más cerca de +1 y significa que los rendimientos de las acciones se mueven en la misma dirección, tienen una dependencia total.

Se tiene un mayor grado de correlación negativa cuando su valor esté más cerca de -1 y se dice que es perfecta negativa cuando los rendimientos de una acción se mueven hacia un lado y los rendimientos de la otra acción se mueven en el sentido contrario.

Si la correlación es cero o cercana a éste, se entiende que los movimientos entre las acciones no tienen correlación, son completamente aleatorios.

Según Markowitz, para encontrar la diversificación y disminuir el riesgo del portafolio lo ideal es que los activos que conforman la cartera tengan correlaciones altas negativas, lográndose por ejemplo, al invertir en empresas que pertenecen a sectores diferentes.

Donde:

• p (Ra, Rb) = Coeficiente de correlación entre los rendimientos del activo a y b.
• Cov (Ra, Rb) = Covarianzas entre los rendimientos del activo a y b.
• ?(Ra) = Volatilidad del activo a.
• ?(Rb) = Volatilidad del activo b.

En Excel construimos una matriz de correlación, por medio de:

– Datos  – Análisis de datos (Se toma la matriz de rendimientos)  – Coeficiente de Correlación

Después de observar las matrices, se puede decir que los rendimientos de la mayoría de los activos que conforman el Índice S&P Mila 40 están correlacionados en forma positiva.

Las cinco correlaciones negativas más altas son:

–   Almacenes Éxito S.A (ÉXITO) con AES Gener S.A. (GENER) = -7,280%

–   Banco de Bogotá S.A. (BOGOTA) con Lan Airlines S.A. (LAN)  = -4,69%

–   Lan Airlines S.A. (LAN) con Grupo Aval Acciones y Valores (GRUPOVAL) = -4,245%

–   Enersis S.A. (ENERSIS) con Banco de Bogotá S.A. (BOGOTA)  = -2,855%

–   Viña Concha y Toro S.A. (CONCHATORO) con Almacenes Éxito S.A (ÉXITO)  = -2,028%

La frontera eficiente de Markowitz: el equilibrio perfecto entre riesgo y retorno

La frontera eficiente (o curva de eficiencia) es un concepto fundamental dentro del Modelo de Markowitz y la teoría moderna de carteras, y representa el conjunto óptimo de combinaciones de riesgo y rentabilidad para un inversor. 

Al calcular todas las combinaciones posibles de activos y graficar sus rendimientos frente al riesgo, se obtiene la frontera eficiente.
Cada punto de esa curva representa el mejor rendimiento posible para un nivel de riesgo dado.

El inversionista elige su punto óptimo según su perfil de riesgo:

• Conservador → bajo riesgo, baja rentabilidad.
  
• Moderado → equilibrio entre ambos.
  
• Agresivo → mayor riesgo a cambio de mayor potencial de retorno.

Visualizar la frontera eficiente en Excel o R permite identificar la cartera óptima según cada perfil.

Portafolio o cartera eficiente de Markowitz

El Portafolio (o Cartera) Eficiente de Markowitz es un concepto central de la Teoría de Cartera de Markowitz (E-V) y representa el conjunto óptimo de inversiones que un inversor racional debería elegir. Una cartera eficiente es cualquier cartera asociada con un punto en la frontera eficiente. 

En otras palabras, el Portafolio Eficiente es aquel que se encuentra sobre la frontera eficiente.  No todos los portafolios diversificados son eficientes: solo los que logran la mejor relación entre riesgo y rendimiento lo son.

En la práctica, este portafolio combina activos que equilibran correlaciones, volatilidad y expectativas de rentabilidad de forma estratégica.

¿Quién es Harry Markowitz? 

Harry Max Markowitz (1927–2023) fue un economista estadounidense considerado el padre de la teoría moderna de portafolios.
Su investigación “Portfolio Selection” introdujo el uso de herramientas estadísticas y matemáticas en la inversión, transformando la economía financiera.

En 1990, fue galardonado con el Premio Nobel de Economía junto con William Sharpe y Merton Miller, por desarrollar la base de la gestión de riesgos moderna.

Su legado vive en cada fondo de inversión, ETF o algoritmo financiero que hoy aplica sus principios.

Conclusión

El modelo de Markowitz no solo cambió la historia de la inversión: estableció las bases de toda estrategia moderna de portafolios.
Su mayor lección es simple pero poderosa: no pongas todos los huevos en la misma canasta, pero elige científicamente cuántas canastas y cuáles.

Hoy, cualquier inversionista puede aplicar este modelo con herramientas como Excel o R, siguiendo los mismos principios que usan los grandes gestores institucionales.

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Fuentes:

Markowitz, Harry (1952): «Portfolio Selection».

Bolsa de Valores de Colombia. 

Bolsa Comercio de Santiago.

Bolsa de Valores de Lima.